Tha indefinite riatanach. Coimpiutadh de indefinite integrals

Aon de na h-earrannan matamataigeach bunaiteach anailis 'S e riatanach calculus. Tha ea 'còmhdach gu math farsaing a achadh Rudan, far a bheil an toiseach - tha e an indefinite riatanach. Dreuchd a tha e mar phrìomh a tha fhathast ann an àrd-sgoil a 'sealltainn an àireamh de dùilean agus cothroman, a tha a' toirt iomradh air ìre nas àirde matamataig.

coltas

Aig a 'chiad shealladh, tha e coltach gu tur riatanach latha an-diugh, an latha, ach ann an cleachdadh a' tionndadh a-mach gun tàinig e air ais ann an 1800 BC. Dachaigh gu h-oifigeil a 'beachdachadh air na h-Eiphit mar Cha do ràinig dhuinn fianais na bu thràithe a bith. Tha e air sgàth dìth fiosrachaidh, fhad 'sa bha a h-uile suidheachadh dìreach mar iongantas. Tha e a-rithist a 'dearbhadh na h-ìre saidheansail leasachadh an sluagh-amannan sin. Mu dheireadh, tha na h-obraichean a chaidh a lorg an t-seann Ghreugais Mathematicians, dol air ais bho na linn 4mh BC. Tha iad ag innse an dòigh a chleachdadh far a bheil an indefinite riatanach, brìgh a bha a 'lorg an leabhar no an sgìre de curvilinear cumadh (trì-sheallach agus dà-thaobhach plèana, fa leth). Chaidh an àireamhachadh a tha stèidhichte air a 'phrionnsabal air roinneadh a' chiad figear a-steach infinitesimal phàirtean, a thoirt air an tomhas-lìonaidh (sgìre) mar-thà aithnichte dhaibh. Thar ùine, an dòigh air fàs, Archimedes a chleachdadh gus lorg an sgìre de parabola. Cluicheadairean àireamhachadh aig an aon àm a bhith a 'dèanamh eacarsaichean ann an seann Sìona, far an robh iad gu tur neo-eisimeileach bhon Ghreugais cho-saidheans.

leasachadh

An ath fuasgladh ann an XI linn RC air a bhith ann an obair na Arab sgoilear "cairt" Abu Ali al-Basri, a phut crìochan an-thà aithnichte, a bha a 'tighinn bho riatanach foirmle airson obrachadh a-mach na suimean na suimean agus na ceuman anns a' chiad cheathramh, cur a-steach airson seo aithnichte dhuinn inntrigidh dòigh.
Minds latha an-diugh tha tlachd le na seann Èipheitich a chruthaich na carraighean iongantach gun innealan sònraichte sam bith, ach a-mhàin airson a làmhan aca fhèin, ach tha e nach eil cumhachd chuthach-saidheans aig an àm nach eil nas lugha na mhiorbhuile? An coimeas ri an-dràsta amannan de am beatha coltach prìomhadail cha mhòr, ach tha an co-dhùnadh indefinite integrals deduced uile h-àite agus a chleachdadh ann an gnìomh airson tuilleadh leasachaidh.

Tha an ath cheum a ghabh àite ann an XVI linn, nuair a Italian matamataig Cavalieri thug indivisible dòigh, a thog suas Per Ferma. Tha an dà phearsa a leagadh bunait airson an latha an-diugh riatanach calculus, a tha ainmeil aig an àm. Cheangail iad na bun-bheachdan eadar-dhealachadh agus amalachadh, a bha roimhe seo air fhaicinn mar a tha fèin-aonadan. Le agus mòr, matamataig an àm sin bha sgapte pìosan ann le co-dhùnaidhean fhèin, le beagan feum. Slighe a thighinn còmhla agus lorg cumanta talamh an aon fìor aig an àm, a 'toirt taing dha, an-diugh matamataigeach mion-sgrùdadh air an robh an cothrom a' fàs agus a 'leasachadh.

Leis an trannsa ùine a h-uile càil atharrachadh agus an t-samhla cho math riatanach. Le agus mòra, chaidh an ainmeachadh a-saidheans ann an dòigh aige fhèin, mar eisimpleir, a chleachdadh Newton ceàrnagach icon, a chur an gnìomh integrable, no dìreach a chur ri chèile. Tha seo a mhair gus an neo-ionnanachd XVII linn, nuair a comharra-tìre fad an teòiridh matamataigeach mion-sgrùdadh saidheans Gotfrid Leybnits thoirt a-steach a leithid de caractar eòlach dhuinn. Nas fhaide "S" a tha dha-rìribh a tha stèidhichte air an litir seo de an aibidil Ròmanach, bho Ceart an t-suim de primitives. Tha ainm an riatanach fhaighinn taing do Jakob Bernoulli, an dèidh 15 bliadhna.

Tha foirmeil definition

Tha indefinite riatanach crochadh air a 'mhìneachadh air an prìomhadail, mar sin, tha sinn a' beachdachadh air anns a 'chiad àite.

Antiderivative - 'S e mhiùtach gnìomh nan fo-stuth, ann an cleachdadh, tha e air a ghairm prìomhadail. Mura bheil: prìomhadail de ghnìomh d - 'S e gnìomh D, a tha na fo-stuth v <=> V' = v. Rannsachadh prìomhadail a tha obraich a-mach indefinite coileanta, agus a 'phròiseas fhèin dham b' ainm amalachadh.

Mar eisimpleir:

Tha a 'ghnìomh s (y) y = ^3, agus a prìomhadail S (y) = (y ^4/4).

Tha an seata de a h-uile primitives na dreuchd - tha seo an indefinite riatanach, sgrìobhadh e mar a leanas: ∫v (x) dx.

Mar thoradh air gu bheil V (x) - a mhàin a tha cuid prìomhadail bho thùs, a chur an cèill a 'cumail: ∫v (x) dx = V (x) + C, far C - cunbhalach. Fo neo daonnan a 'toirt iomradh sam bith seasmhach, bhon a tha stèidhichte air neoni.

seilbhean

Tha na lotaichean a phianadh leis an indefinite riatanach, an ìre mhath stèidhichte air mìneachadh agus feartan troimh.
Beachdachadh air na prìomh phuingean:

• riatanach fo-stuth a 'prìomhadail a tha prìomhadail fhèin plus neo-cunbhalach C <=> ∫V' (x) dx = V (x) + C;
• sìolach an riatanach de dhleastanas a 'chiad ghnìomh <=> (∫v (x) dx)' = v (x);
• daonnan a thogail a-mach bho fo riatanach soidhne <=> ∫kv (x) dx = k∫v (x) dx, far a bheil k - 'S e tràighte;
• riatanach, a tha air a thogail bhon t-suim de na identically co-ionann ris an t-suim de integrals <=> ∫ (v (y) w + (y)) dy = ∫v (y) dy ∫w + (y) dy.

Tha an dithis mu dheireadh feartan faodar co-dhùnadh gum indefinite tha riatanach sreathach. Air sgàth seo, tha: ∫ (Kv (y) dy ∫ LW + (y)) dy = k∫v (y) dy l∫w + (y) dy.

Airson eisimpleirean faic socrachaidh fuasglaidhean indefinite integrals.

Feumaidh tu a lorg an riatanach ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) dx = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + + 4sinx C = 4sinx - 3cosx + C.

Bho eisimpleir, faodaidh sinn a cho-dhùnadh nach eil sibh fios agad mar a fuasgladh indefinite integrals? Dìreach lorg uile primitives! Ach tha na toraidhean airson na prionnsabalan a dheasbad gu h-ìosal.

Dòighean-obrach agus Eisimpleirean

Ann an òrdugh a 'fuasgladh na riatanach, faodaidh tu ìre a leanas dòighean-obrach:

• deiseil gus brath a ghabhail air a 'bhòrd;
• amalachadh le pàirtean;
• fhilleadh a-steach le bhith a 'gabhail àite an caochlaideach;
• suim fo sgeul air an eadar-dhealachadh.

clàir

Tha a 'mhòr-chuid sìmplidh agus tlachdmhor slighe. Aig an àm seo, anailis matamataigeach urrainn uaill gu math farsaing bùird, a tha a-mach air a litreachadh bunaiteach foirmle de indefinite integrals. Ann am briathran eile, tha teamplaidean a 'tighinn suas ri thu agus faodaidh tu a-mhàin a' gabhail brath orra. Seo liosta de na prìomh Clàr suidheachadh, a dh'fhaodas a bhith air an taisbeanadh cha mhòr a h-uile eisimpleir, tha fuasgladh:

• ∫0dy = C, far C - cunbhalach;
• ∫dy = y + C, far C - cunbhalach;
• ∫y ⁿ dy = (y ^{n + 1)} / (n + 1) + C, far C - cunbhalach, agus n - uile eadar-dhealaichte bho aonachd;
• ∫ (1 / y) dy = rapal | y | + C, far C - cunbhalach;
• ^{∫e dy y = y + S C} , far C - cunbhalach;
• ^{∫k y = dy (k y /} rapal k) + C, far C - cunbhalach;
• ∫cosydy = siny + C, far C - cunbhalach;
• ∫sinydy = -cosy + C, far C - cunbhalach;
• ∫dy / cos ² + y = tgy C, far C - cunbhalach;
• ∫dy / pheacadh ² + y = -ctgy C, far C - cunbhalach;
• ∫dy / (1 + y ²⁾ = arctgy + C, far C - cunbhalach;
• ∫chydy = diùid + C, far C - cunbhalach;
• ∫shydy = chy + C, far C - cunbhalach.

Ma tha feum air, a dhèanamh no dhà de na ceumannan a stiùireadh integrand ri clàir a sealladh agus tlachd às na buaidh. Mar eisimpleir: ∫cos (5x -2) dx = 1 / 5∫cos (5x - 2) d (5x - 2) = 1/5 x peacadh (5x - 2) + C.

A rèir a 'cho-dhùnadh, tha e soilleir gu bheil mar eisimpleir Clàr integrand eil iomadachaidh 5. Tha sinn a ris e ann an co-shìnte le iomadachaidh seo le 1/5 gu coitcheann a chur an cèill nach robh atharrachadh.

Integration le pàirtean

Beachdaich air dà dleastanasan - z (y) agus x (y). Feumaidh iad a bhith a 'sìor differentiable air an àrainn. Ann an aon feartan eadar-dhealachadh a tha againn: d (xz) = xdz + zdx. Filleadh a-steach gach taobh, tha sinn a 'faighinn: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Ath-sgrìobhadh an thoradh air co-aontar, gheibh sinn am foirmle, a tha a 'toirt iomradh air an dòigh amalachadh le pàirtean: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Carson a tha e riatanach? Tha an fhìrinn gu bheil cuid de na h-eisimpleirean a tha e comasach a dhèanamh nas sìmplidhe, leig a ràdh, a lùghdachadh ∫zdx ∫xdz, ma tha an dàrna e faisg air an clàir fhoirm. Cuideachd, tha am foirmle seo faodar a chleachdadh barrachd air aon uair, airson reachdachadh toraidhean.

Ciamar a fuasgladh indefinite integrals an dòigh seo:

• riatanach gus obrachadh a-mach ∫ (ean + 1) S ^2s DS

∫ (x + ^{1) 2s DS S = {z =} s + 1, dz = DS, y = 1 ^{/ 2e 2s, dy S = 2x} DS} = ((ean + 1) S ^2s) / 2-1 an-aghaidh / 2 ∫e ^2s dx = ((ean + 1) s ^2s) / 2-d ^2s / 4 + C;

• Feumaidh obrachadh a-mach ∫lnsds

∫lnsds = {z = lns, dz = DS / s, y = s, dy = DS} = slns - ∫s x DS / s = slns - ∫ds = slns -s + C = s (lns-1) + C.

An àite an caochlaideach

Tha am prionnsapal seo a 'fuasgladh indefinite integrals nach eil nas lugha na ann an iarrtas roimhe dhà, ged toinnte. Tha an dòigh a tha mar a leanas: Leig V (x) - an riatanach cuid de ghnìomh v (x). Anns an tachartas a coileanta ann fhèin ann an Example slozhnosochinenny a 'tighinn, tha e coltach ri chèile agus a' dol sìos frith-rathad ceàrr fuasglaidhean. Airson nach biodh an cleachdadh seo atharrachadh bho caochlaideach x gu z, anns a bheil am coitcheann sìmplidh a chur an cèill gu lèirsinneach a 'cumail z a rèir x.

Ann matamataigeach a thaobh, tha seo mar a leanas: ∫v (x) dx = ∫v (y (z)) y '(z) dz = V (z) = V (y -1 (x)), far a bheil x = y ( z) - ionadachadh. Agus, gu dearbh, na mhiùtach gnìomh y = z ^-1 (x) gu h-iomlan ag innse an dàimh agus an ceangal a tha caochladairean. Cudromach note - an eadar-dhealachadh dx an còmhnaidh a chur an àite ùr eadar-dhealachadh dz, bho atharrachadh caochlaideach ann an indefinite e riatanach a bhith a 'gabhail àite anns gach àite, chan e dìreach ann an integrand.

Mar eisimpleir:

• Feumaidh lorg ∫ (ean + 1) / (ean ² + 2s - 5) DS

Cuir a-steach an t-ionadachadh z = (ean + 1) / (ean ² + 2s-5). An sin dz = 2sds = 2 + 2 (ean + 1) DS <=> (ean + 1) DS = dz / 2. Mar thoradh air, a leanas a chur an cèill, a tha gu math furasta obrachadh a-mach:

∫ (ean + 1) / (ean ² + 2s-5) DS = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2ln | z | = 1 + C / 2ln | s ² + 2s-5 | + C;

• feumaidh tu a lorg an riatanach ∫2 ^s e ^'s dx

A 'fuasgladh na rewrite ann an riochd a leanas:

^{∫2 s e 's DS = ∫ (} 2e) s DS.

Tha sinn a 'denote le = 2e (thèid an àite an argamaid seo ceum nach' eil, tha e fhathast s), bheir sinn ar cho iom-fhillte riatanach gu bunaiteach clàir foirm:

^{∫ (2e) s DS = ∫a} s DS = s a / lna + C = (2e) s / rapal (2e) C = + 2 ^{'S e' s} / rapal (2 + lne) + 2 = C ^s e ^'s / (ln2 + 1) + C.

Dhùnadh a-eadar-dhealachadh soidhne

Le agus mòr, an dòigh seo a indefinite integrals - an dà bhràthair air prionnsapal atharrachadh caochlaideach, ach tha eadar-dhealachaidhean anns a 'phròiseas clàraidh. Leig dhuinn beachdachadh nas mionaidiche.

Ma ∫v (x) dx = V (x) + C agus y = z (x), an uair sin ∫v (y) dy = V (y) + C.

Aig an aon àm chan fhaod sinn dìochuimhneachadh an-atharrachaidhean glè riatanach, nam measg tha:

• dx = d (x + a), agus anns - gach cunbhalach;
• dx = (1 / a) D (ax + b), far a bheil - daonnan a-rithist, ach chan eil neoni;
• xdx = 1 / 2d (x ² + b);
• sinxdx = see (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ma tha sinn a 'beachdachadh coitcheann a' chùis far a bheil sinn obrachadh a-mach an indefinite riatanach, eisimpleirean Faodar gabhail a-steach fo coitcheann foirmle W '(x) dx = DW (x).

eisimpleirean:

• Feumaidh lorg ∫ (2s + 3) ² DS, DS = 1 / 2d (2s + 3)

∫ (2s + 3) ² DS = 1 / 2∫ (2s + 3) ² d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) x (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Taic Air-loidhne

Ann an cuid de chùisean, a 'choire a tha a' fàs no leisg, no cruaidh fheum, faodaidh sibh a 'cleachdadh an loidhne cuideachadh, no an àite, a' cleachdadh àireamhair indefinite integrals. A dh'aindeoin an iom-fhillteachd agus follaiseach connspaideach nàdar na integrals, an co-dhùnadh a tha fo ùmhlachd sònraichte aca algairim, a tha stèidhichte air prionnsapal "mura dèan thu sin ... an uair sin ...".

Gu dearbh, a tha gu h-àraidh eadar-fhighte eisimpleirean de a leithid àireamhair cha mhaighstir, mar a tha cùisean anns a bheil co-dhùnadh a tha ri lorg an artificially "fheudar" le bhith a 'toirt a-steach cuid de na h-eileamaidean anns a' phròiseas, a chionn na toraidhean a tha follaiseach dòighean a ruighinn. A dh'aindeoin an connspaideach nàdar an aithris seo, tha e fior, mar matamataig, ann am prionnsabal, an eas-saidheans, agus a 'phrìomh amas a' beachdachadh air an fheum airson cumhachd a thoirt do na Crìochan. Gu dearbh, airson rèidh-run ann an teòiridhean a tha fìor dhoirbh a 'gluasad suas agus a leasachadh, agus mar sin chan eil a' gabhail ris gu bheil a 'eisimpleirean de fuasgladh indefinite integrals, a thug dhuinn - tha seo a' àirde de chothroman. Ach air ais chun an taobh teicnigeach de rudan. Co-dhiù airson dearbhadh air an obrachadh a-mach, faodaidh sibh a 'cleachdadh an t-seirbheis ann a chaidh a sgrìobhadh dhuinn. Ma tha feum air fèin-ghluasadach àireamhachadh iom abairtean, an uair sin chan eil iad a bhith ìre nas miosa bathar-bog. Bu chòir aire gu sònraichte air an àrainneachd MatLab.

iarrtas

Tha an co-dhùnadh indefinite integrals aig a 'chiad shealladh tha coltas gu tur' briseadh air falbh bho dà-rìribh, oir tha e duilich fhaicinn an follaiseach cleachdadh na plèana. Gu dearbh, dìreach gan cleachdadh an àite sam bith nach urrainn thu, ach tha iad riatanach eadar-mheadhanach eileamaid ann a bhith a tarraing a-mach fuasglaidhean a chleachdadh ann an gnìomh. Mar sin, a 'filleadh a-steach air ais eadar-dhealachadh, mar sin a' gabhail pàirt gnìomhach ann am pròiseas a 'fuasgladh cho-aontaran.
Ann an tionndadh, co-aontaran seo buaidh dhìreach air an co-dhùnadh na trioblaidean meacanaigeach, slighe àireamhachadh agus tearmach conductivity - ann goirid,-uile rud a 'ciallachadh an-diugh agus a bhith a' cumadh àm ri teachd. Indefinite riatanach, eisimpleirean de na tha sinn a 'beachdachadh gu h-àrd, chan eil ach glè bheag aig a' chiad shealladh, mar stèidh a ghiùlan a-mach tuilleadh agus tuilleadh ùr a lorg.