Boolean a ailseabra. algebra de loidsig. Elements matamataigeach loidsig

Anns an latha an-diugh an t-saoghail a tha sinn a 'sìor fhàs a' cleachdadh diofar innealan agus innealan. Agus chan ann a-mhàin nuair a tha e riatanach gu litireil a 'buntainn robh neart: gluais an eallach a thogail gu an àirde, a' cladhach a dh'fhaid agus domhainn truinnsidh, etc. Cars an-diugh a 'cruinneachadh innealan-fuadain, tha biadh air a bhruich Multivarki agus bhunaiteach àireamhachd àireamhachadh a dhèanamh àireamhairean ... Tuilleadh agus nas trice a chluinneas sinn an abairt "boolean a algebra". 'S dòcha t-àm air tighinn a' tuigsinn àite na daoine ann an cruthachadh innealan-fuadain agus an comas air ceistean matamataigeach chan ann a mhàin, ach cuideachd loidsigeach duilgheadasan.

loidsig

Ann an Greugais loidsig - òrdail siostam smuain a 'cruthachadh an dàimh eadar na h-thoirt agus a' leigeil leat gus dèanamh co-dhùnaidhean stèidhichte air barailean agus tuairmsean. Gu tric, tha sinn ag iarraidh a chèile: " 'S e dòigh rianail airson" Tha freagairt a' daingneachadh ar barail no 'càineadh an trèana smuain. Ach a 'phròiseas Chan eil a' stad ann: tha sinn a 'cumail oirnn a bruidhinn.

Uaireannan, tha an àireamh de na h-(-steach) a tha cho mòr, agus an dàimh eatorra a tha cho neo-shoilleireachd agus iom-fhillte a bheil an eanchainn daonna nach urrainn don "chnàmh" na h-uile aig an aon àm. Dòcha gum feum thu barrachd air aon mhìos (san t-seachdain, bliadhna) airson an tuigse air dè tha a 'tachairt. Ach an latha an-diugh chan eil beatha a thoirt dhuinn sin ùine amannan cunbhalach gus dèanamh co-dhùnaidhean. Agus tha sinn a-ìre taic coimpiutairean. Agus tha e an seo a tha ailseabra agus loidsig, le a laghan agus feartan. An dèidh a luchdachadh a-nuas a h-uile thùsail dàta, tha sinn a 'leigeil leis a' choimpiutair a bhith ag aithneachadh a h-uile dàimhean, a 'cur às contrarrachdan agus a lorg fuasgladh iomchaidh.

Matamataig agus loidsig

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits chèile bun-bheachd "matamataigeach loidsig", a bha gnìomhan furasta a thuigsinn a-mhàin beag cearcall de sgoilearan. Ùidh shònraichte a tha an stiùireadh cha robh adhbhrachadh, agus gu meadhan an XIX linn matamataigeach loidsig aithnichte le beagan.

Tha ùidh mhòr anns a 'choimhearsnachd shaidheansail air connspaid adhbharachadh anns a bheil an t-Sasannach Dzhordzh Bul dh'ainmich e an dùil a stèidheachadh meur matamataig, nach eil buileach a chleachdadh. Mar a tha fios againn bho eachdraidh, aig an àm seo gu gnìomhach a 'leasachadh a' chinneasachaidh gnìomhachasail, a leasaich sinn a h-uile seòrsa de luchd-innealan, t. E. uile saidheansail air an robh practaigeach comhair.

A 'coimhead air adhart, tha sinn ag ràdh gur boolean a algebra - as a chleachdadh ann an saoghal an-diugh na phàirt de matamataig. So agaibh argamaid Buhl chall.

Dzhordzh Bul

Tha pearsantachd an t-ùghdar airidh air aire shònraichte. Fiù 's air a thoirt gu bheil san àm a dh'fhalbh na daoine a dh'fhàs suas mus dhuinn, fhathast a bu chòir a thoirt fa-near gur ann an 16 bliadhna de Iain. Buhl teagasg aig a' bhaile-sgoil, agus gu 20 bliadhna a dh'fhosgail ea sgoil fhèin ann an Lincoln. Mathematician-iomlan dh'ionnsaich còig cànanan cèin, agus ann an àm, a 'leughadh a' Innleadaireachd de Newton agus Lagrange. Agus a h-uile seo - air an neach-obrach àbhaisteach mac!

Ann an 1839, chuir a 'chiad Buhl phàipearan saidheansail ann an Cambridge Matamataigeach Journal. Scientist thionndaidh 24 bliadhna. Boole obair a tha cho ùidh buill den Chomann Rìoghail, ann an 1844 fhuair e duais airson na chuir e ri leasachadh matamataigeach mion-sgrùdadh. Bha beagan pàipearan foillsichte anns a bheil eileamaidean de matamataigeach loidsig, matamataig cead an òigridh a 'gabhail an dreuchd àrd-ollamh ann an Colaiste na Corcaigh Siorrachd chaidh a mhìneachadh. A chuimhneachadh gu bheil aig fìor Boole foghlam nach robh.

beachd

Ann am prionnsabal, boolean a ailseabra tha e gu math sìmplidh. Tha aithrisean (loidsigeach aodainn), bho shealladh matamataig, ach a mhàin a mhìneachadh ann an dà fhacal: "fìor" no "ceàrr". Mar eisimpleir, ann an craobhan as t-earrach fo bhlàth - an fhìrinn, an t-samhraidh e snows - breug. Tha bòidhchead matamataig nach eil e riatanach gu teann a 'cleachdadh ach àireamhan. Airson an ailseabra breithneachadh gu math sam bith le aithrisean a 'ciallachadh gun choimeas.

Mar sin, an ailseabra den loidsig a ghabhas a chleachdadh gu litireil uile h-àite: ann an clàradh a 'teagasg agus a' sgrìobhadh, anailis chòmhstri fiosrachadh mu na tachartasan agus an co-dhùnadh an t-sreath de ghnìomhan. An rud as cudromaiche - a thoirt gu buil nach eil e gu diofar ciamar a tha sinn a 'dearbhadh an fhìrinn no an falsity aithrisean. Bho na "mar" agus "carson" feumaidh tu a leigeil seachad. Se tha cudromach a-mhàin aithris air fìrinn: Is e an fhìrinn breug.

Gu dearbh, prògramadh as dreuchdan cudromach an ailseabra den loidsig a tha air a chlàradh le iomchaidh soidhnichean agus na samhlaidhean. Agus ionnsaich iad - tha e a 'ciallachadh a bhith ag ionnsachadh ùr cànan cèin. Chan eil dad a tha do-dhèanta.

Bun-bheachdan agus mìneachaidhean

Gun a dhol a-steach dhan doimhneachd, tha sinn a 'dèiligeadh ri briathrachas. Mar sin, boolean a algebra presupposes:

• aithrisean;
• loidsigeach obrachaidhean;
• gnìomhan agus laghan.

Aithrisean - aontach sam bith a chur an cèill a dh'fhaodas a bhith air am mìneachadh dà-luach. Tha iad air an sgrìobhadh mar àireamh (5> 3) no ri chèile air facail eòlach (ailbhean - mamail as motha). Anns a 'chùis seo, tha an abairt "an Giraffe amhaich nach eil" cuideachd aig a bheil còir a bhith ann, ach algebra boolean a' mìneachadh mar a "breug."

A h-uile h-aithrisean bu chòir a bhith seaghach, ach dh'fhaodadh iad a bhith bunaiteach no compound. Tachartasan cleachdadh loidsigeach phasgan. E. Anns an ailseabra aithrisean breithneachaidhean compound chruthachadh le a 'cur bhunaiteach loidsig obraichean.

Boolean a algebra obraichean

Tha sinn mar-thà cuimhnich gu bheil na h-obraichean ann an ailseabra na breithneachaidhean - loidsigeach. Dìreach mar an ailseabra àireamhan a 'cleachdadh a' obrachaidhean àireamhachd a chur ris, toirt air falbh, no coimeas a dhèanamh eadar àireamhan, matamataigeach loidsig eileamaidean iom-fhillte a cheadachadh gus dèanamh aithrisean, gu aicheadh no gus obrachadh a-mach a 'chuairt dheireannach thoradh.

Logic obraichean airson an formalization sìmplidheachd agus an cur an cèill leis a 'foirmle, eòlach dhuinn ann an àireamhachd. Feartan boolean a ailseabra cho-aontaran ga dhèanamh comasach a chlàradh agus obraich a-mach neo-aithnichte. Loidsigeach obraichean a tha mar as trice a chlàradh leis an fhìrinn bhòrd. Tha eileamaidean a 'mìneachadh colbhan agus coimpiutaireachd obrachadh a tha a' cluich orra, agus na sreathan a 'sealltainn an thoradh air àireamhachadh.

Basic loidsig gnìomh

As cumanta ann an ailseabra boolean a-obraichean a tha negation (NOT), agus rianail agus agus OR. Mar sin, tha e comasach innse pragtaigeach h-uile ceum ann an ailseabra breithneachadh. Tha sinn a 'sgrùdadh mionaideach air gach aon de na trì obraichean.

Tha negation (nach eil) air iarrtas a chur gu dìreach aon eileamaid (operand). Uime sin, an obair a tha ris an canar unary negation. Gus clàradh bun-bheachd "Cha A" cleachdadh samhlaidhean leithid: ¬A, A no A !. Ann an clàir foirm e a 'coimhead mar seo:

Tha an dreuchd a thaobh a aicheadh àbhaisteach a leithid de aithris: ma tha A fìor, an uair sin A - tha e meallta. Mar eisimpleir, tha a 'ghealach stèidhichte air an Talamh - an fhìrinn; Earth stèidhichte mun cuairt na gealaich - breug.

Loidsigeach iomadachadh agus thuilleadh

Rianail agus obrachadh an co-bhonn ris an canar. Dè tha ea 'ciallachadh? Sa chiad àite, gu bheil e a ghabhas a chur ri dà operands, ie, I - .. Binary obrachadh. San dara àite, chan eil e ach ann an cùis an fhìrinn an dà chuid operands (an dà chuid A agus B) a tha fìor agus a 'cur an cèill a shàbhaladh. Tha an seanfhacal, "Patience agus beagan oidhirp" a 'ciallachadh nach robh ach dà fheart urrainn cuideachadh neach a' dèiligeadh ri duilgheadasan.

samhlaidhean a tha air an cleachdadh airson clàradh: A∧B, no A⋅B A && B.

An co-bhonn coltach ri iomadachadh ann an àireamhachd. Uaireannan, agus ag ràdh - loidsigeach iomadachadh. Ma tha thu iomadaich na h-eileamaidean de na sreathan de bhòrd, gheibh sinn thoradh coltach ri smaoineachadh loidsigeach.

Disjunction 'S e dòigh rianail no obrachadh. Tha e fìor ma tha co-dhiù aon de na h-aithrisean a tha fìor (A no B). Tha e sgrìobhte mar seo: A∨B, A + B no A B. || an fhìrinn Clàr airson obair sin a tha:

Disjunction coltach àireamhachd bharrachd. loidsigeach thuilleadh air obrachadh le aon bacadh: 1 + 1 = 1. Ach cuimhnich sinn sin ann an cruth didseatach air a chuingealachadh gu matamataigeach loidsig 0 agus 1 (far a bheil 1 - an fhìrinn, 0 - ceàrr). Mar eisimpleir, tha an aithris "ann an taigh-tasgaidh chì thu euchd no lorg math companaidh" a 'ciallachadh na chì thu an obair ealain, agus tha e comasach coinneachadh inntinneach neach. Aig an aon àm, chan eil iad a 'riaghladh a-mach an comas a choileanadh mar-aon aig an dà chuid tachartasan.

Gnìomhan agus laghan

Mar sin, tha sinn mar-thà dè an dòigh rianail obrachadh boolean a 'cleachdadh an ailseabra. Gnìomhan innse a h-uile feartan na h-eileamaidean matamataigeach loidsig, agus cothrom a thoirt dhuinn a dhèanamh nas sìmplidhe iom-fhillte compound aithrisean. Tha a 'mhòr-chuid sìmplidh soilleir agus a rèir coltais a dhiùltadh seilbh na fo-stuthan obraichean. Le fo-stuthan a tha a 'tuigsinn XOR, agus buaidh air co-ionnananchd. Mar a tha sinn air leughadh a-mhàin leis an obraichean bunaiteach, agus an uair sin an t-seilbh a tha cuideachd a-mhàin beachdachadh orra.

Associativity 'ciallachadh gu bheil ann an aithrisean leithid "an dà chuid A agus B, B' an òrdugh liosta de na operands Chan eil e gu diofar. Tha am foirmle a sgrìobhadh mar a leanas:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Mar a chì thu, chan eil seo sònraichte do na co-bhonn ach disjunction.

Commutativity ag argamaid gu bheil toradh an co-bhonn no disjunction Chan eil an crochadh air a 'phìos a chaidh beachdachadh aig an fhìor thoiseach:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity a 'leigeil fhoillseachadh eadar camagan ann an iom-fhillte a chur an aodainn. Riaghailtean a tha coltach ri fosgladh parenthesis ann an iomadachadh agus a thuilleadh air sin ann an ailseabra:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Aonad feartan agus sgrìobadh, a dh'fhaodas a bhith aon de na operands tha cuideachd a tha coltach ris an ailseabra iomadachadh le neoni no aon, agus a thuilleadh air aonad:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency ag innse dhuinn gun ma ìre mhath co-ionann operands an dà thoradh air an obrachadh an aon rud, faodaidh sibh a "tilgeil" an còrr duilghe reusanachadh operands. Agus an co-bhonn agus disjunction obraichean a tha idempotent.

B∧B = B; B∨B = B.

Togail cuideachd a 'toirt cothrom dhuinn a dhèanamh nas sìmplidhe an co-aontar. Chiad sreath ag ràdh nuair a thathar a 'cur labhairt ri aon operand, eile obrachadh leis an aon eileamaid de thoradh operand Tha e a ghabhas obrachadh.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

sreath de obraichean

Tha an sreath de obraichean a tha air leth cudromach. Gu dearbh, mar airson an ailseabra, tha prìomhachas gnìomh a 'cleachdadh boolean a ailseabra. Foirmlean Faodar sìmplidh a-mhàin ùmhlachd do brìgh an obair. Rangachadh a 'mhòr-chuid cudromach air dòigh sam bith, tha sinn a' faighinn an òrdugh a leanas:

1. Denial.

2. co-bhonn.

3. Tha disjunction, XOR.

4. Tha buaidh, co-ionnananchd.

Mar a chì sibh, ach an negation de na co-bhoinn agus aig nach eil co-ionnan phrìomhachas. Tha e na phrìomhachas an disjunction agus XOR a tha co-ionnan, cho math ri prìomhachasan agus buaidh co-ionnanachd.

Gnìomhan agus buaidh co-ionnanachd

Mar a tha sinn air a ràdh, a thuilleadh air an obraichean bunaiteach loidsigeach, matamataigeach loidsig agus teòiridh-aontaran a 'cleachdadh fo-stuthan. Tha e gu tric a 'chuid as motha a' tuigsinn agus co-ionnanachd.

A 'tuigsinn no loidsigeach thoradh - aithris seo, anns a bheil fear an gnìomh a tha a staid, agus eile - an toradh a chur an gnìomh. Ann am briathran eile, a 'mholadh seo leis an pretext de "ma ... an uair sin." "An deigh na dinneir thig an cunntadh." E. Airson a 'dràibheadh gu bhith tightened air slaodan bheinn. Mura h-eil miann a bhith a 'gluasad sìos bhon bheinn, agus an uair sin, slaod an slaodan Chan eil e riatanach. Mar sin tha e sgrìobhte: A → B no A⇒B.

Co-ionnanachd a 'ciallachadh gum lìon bhuaidh a' tachairt a-mhàin nuair a tha an dà chuid operands fìor. Mar eisimpleir, an oidhche a 'toirt slighe gu latha an uair sin, (agus an uair sin a-mhàin), nuair a bha a' ghrian ag èirigh thairis air fàire. Anns a 'chànan matamataigeach loidsig an aithris seo a sgrìobhadh mar A≡B, A⇔B, A == B.

Laghan eile de boolean a algebra

Algebra breitheanas a 'leasachadh, agus tha mòran ùidh aig luchd-saidheans a' cruthachadh laghan ùra. As ainmeile a tha a 'beachdachadh air na h-Alba postulates matamataig O. De Morgan. Mhothaich e agus thug e mìneachadh air a leithid togalaichean cho faisg negation, agus a thuilleadh air sin dùbailte àicheil.

Dùin aicheadh a 'moladh gum an làthair an parenthesis eil àicheadh: Cha (A no B) = Chan eil A no B. NOT

Nuair a operand air àicheadh, a dh'aindeoin a luach, ag ràdh mu dheidhinn Cuideachd:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Agus mu dheireadh, an dà negation fhèin compensates. ie mus an dàrna cuid operand negation falbhaidh no fhathast ach aon.

Ciamar a fuasgladh deuchainnean

Cleas a 'ciallachadh sìmpleachadh ro-shuidhichte air co-aontaran. Dìreach mar ann an Lie an ailseabra, tha e riatanach gu maximally a 'cuideachadh a' chiad staid (gus faighinn cuidhteas iom-fhillte a 'cur obraichean, agus còmhla riutha), an uair sin a' tòiseachadh a 'coimhead airson freagairt ceart.

Dè a dhèanamh gus a dhèanamh nas sìmplidhe? Convert a h-uile fo-stuthan ann sìmplidh obrachadh. An sin leig uile na camagan (no a chaochladh, a dhèanamh na camagan a lùghdachadh eileamaid seo). An ath cheum a bu chòir a bhith a 'cleachdadh boolean a algebra feartan ann an cleachdadh (feartan chiad sreath neoni agus aon, agus t.).

Aig deireadh an latha, bu chòir an co-aontar mairidh àireamh is lugha de cinnt, còmhla ri obrachaidhean sìmplidh. Tha an dòigh as fhasa gus coimhead airson fuasgladh, ma tha sibh a 'dèanamh àireamh mhòr de neagataibhean dlùth. An sin an fhreagairt bidh pop suas mar gum biodh leis fhèin.