Fourier sreath: eachdraidh agus buaidh na matamataigeach uidheamachd airson leasachadh saidheans

Fourier sreath - sealladh seo arbitrarily thaghadh gus dreuchdan na h-ùine ann an sreath. San fharsaingeachd, seo fuasgladh goirear an leudachadh eileamaid air an orthogonal stèidh. Tha leudachadh gnìomhan Fourier ann an sreath a tha gu math cumhachdach inneal airson fuasgladh diofar dhuilgheadasan air sgàth na feartan cruth-atharrachadh ann an amalachadh, eadar-dhealachadh, cho math ri gluasad ann an argamaid a chur an cèill agus convolution.

Tha neach nach eil eòlach Matamataig Àrd-ìre, cho math ri le oibribh an saidheans Frangach Fourier, as coltaiche nach bi tuigsinn dè an "rangan" agus dè nì iad. Ach 'ghluasaid seo tha gu math daingeann do ar beatha. Tha e air a chleachdadh a-mhàin Chan eil matamataig, ach cuideachd nàdar, ceimigearan, dotairean, speuradairean, seismologists, oceanographers agus feadhainn eile. Leig dhuinn cuideachd sùil nas mionaidiche le oibribh a 'mhòr-saidheans Frangach a rinn an lorg a-mach, air adhart air an àm aige.

An duine agus an cruth-atharrachadh Fourier

Fourier sreath S e aon de na dòighean (còmhla ri mion-sgrùdadh agus eile) a 'Fourier cruth-atharrachadh. Tha am pròiseas seo a 'gabhail àite gach uair a chluinneas neach sam bith fuaim. Tha ar fèin-obrachail converts chluas fuaim tuinn. Oscillatory gluasad bhunaiteach pìosan ann an bhann lùbach tro mheadhan tha leudachadh ann an sreath (an speactram) dèidh leabhar luachan airson Tones de dhiofar àirdean. An ath, an eanchainn converts dàta seo a-steach fuaimean eòlach dhuinn. Tha seo uile a bharrachd air ar miann no chogais fhèin, ach gus an tuig na pròiseasan a tha a 'gabhail grunn bhliadhnaichean gus ionnsachadh àrd-ìre matamataig.

Leugh tuilleadh mu na Fourier cruth-atharrachadh

Tha an cruth-atharrachadh Fourier Faodar mion-sgrùdaidh a dhèanamh, àireamhan agus dhòighean eile. Fourier sreath àireamh a 'phròiseas airson a' briseadh sìos sam bith oscillatory pròiseasan - bho 'chuain làin agus tonnan solas airson grèine baidhsagal (agus an ciall eile Rudan) a ghnìomhachd. A 'cleachdadh nan dòighean matamataigeach, tha e comasach disassemble an gnìomh, a' riochdachadh sam bith oscillatory pròiseasan ann an grunn phàirtean sinusoidal a 'dol bho' char as lugha a 'char as àirde agus a chaochladh. Tha Fourier cruth-atharrachadh a tha obair a 'toirt iomradh air an ìre agus amplitude de sinusoids rèir a sònraichte tric. Tha am pròiseas seo a chleachdadh airson fuasgladh cheistean fìor iom-fhillte co-aontaran a 'toirt cunntas air na pròiseasan fiùghantach tachair fo gnìomha teas, solas no cumhachd dealain. Cuideachd, an Fourier t-sreath a chleachdadh gus eadar-dhealachadh DC phàirtean ann an iom-fhillte waveforms, ga dhèanamh comasach ceart mhìneachadh deuchainneach beachdan anns an leigheasachd, ceimigeachd agus reul-eòlas.

fiosrachadh eachdraidheil

Tha stèidheachadh athair bheachd seo a tha an t-matamataig Frangach Zhan Batist Zhozef Fure. -Ainm aige a-rithist agus a 'ghluasaid seo air a bhith air a ghairm. An toiseach, tha an luchd-saidheans a 'cleachdadh dòigh-obrach a bhith ag ionnsachadh agus a' mìneachadh dòighean de tearmach conductivity - ann an teas a propagation Teann-stuthan. Fourier mholadh gun robh na ciad neo-sgaoileadh nan tonn tearmach Faodar decomposed a-steach sìmplidh sinusoid, gach aon a bhios aig a Teòthachd as ìsle tron agus as motha, a thuilleadh air a 'cheum. Mar so gach pàirt leithid a thomhas bho 'char as lugha a' char as àirde agus a chaochladh. Tha matamataig a dhreuchd a 'toirt iomradh air na h-àrd agus nas ìsle na stùcan ann an lùb, a thuilleadh air an ìre de gach sheirmeach, ris an canar Fourier cruth-atharrachadh na Teòthachd sgaoileadh faireachdainn. Tha ùghdar an teòiridh lùghdachadh iomlan a 'sgaoileadh ghnìomh a tha doirbh a matamataigeach iomradh, ann an glè furasta a làimhseachadh grunn de àm gu àm gnìomhan sine agus cosine, ann an tomhas de bhith a' toirt a 'chiad sgaoileadh.

Tha am prionnsapal atharrachadh agus na beachdan a tha co-aoisean

Co-aoisean an saidheans - a 'phrìomh Mathematicians an tràth san naoidheamh linn deug - cha robh seo a ghabhail teòiridh. Tha a 'phrìomh ghearan a bha aonta Fourier gu bheil an discontinuous gnìomh' toirt iomradh air an loidhne dhìreach no lùb air a reubadh, faodaidh ea bhith air an riochdachadh mar suim sinusoidal abairtean a tha leantainneach. Mar eisimpleir, Beachdaichidh a "ceum" Heaviside: a luach a tha neoni air taobh clì a 'bheàrn agus aon air an làimh dheis. A 'ghnìomh seo a' toirt iomradh an crochadh dealain an-dràsta air an àm caochlaideach airson an dùnadh slabhraidh. Nua-teòiridh aig an àm sin, cha robh thachair an suidheachadh mar sin, nuair a discontinuous a chur an cèill gum biodh a mhìneachadh le measgachadh de leantainneach, gnìomhan coitcheann, leithid exponential, Sìne, sreathach no ceàrnanach.

Dè a 'cur dragh air na Frangaich Mathematicians ann an teòiridh Fourier?

Às dèidh na h-uile, ma-matamataig a bha ceart gu argamaid a dhèanamh, agus an uair sin, suim an t-sreath neo-chrìochnach thriantanach Fourier, tha e comasach fhaighinn ceart riochdachadh an ceum cainnte, fiù 's ma tha seata de cheumannan coltach. Anns na tràth san naoidheamh linn deug, an aithris seo coltach absurd. Ach a dh'aindeoin a h-uile teagamh, bha mòran Mathematicians air leudachadh farsaingeachd a 'sgrùdadh na iongantas seo, tha e a' gluasad seachad air a 'tearmach conduction sgrùdaidhean. Ach, as motha a-saidheans a leantainn airson a 'fulang na ceiste: "An urrainn an t-suim de na sine tonn sreath coinneachadh ris an luach mionaideach de discontinuous ghnìomh?"

-Aomadh de Fourier sreath: mar eisimpleir

Tha a 'cheist ag èirigh aomadh h-uile uair a dh'fheumas tu summation an neo-chrìochnach sreath àireamhan. beachdachadh air eisimpleir chlasaigeach airson an tuigse seo a 'tachairt. Faodaidh sibh riamh a ruighinn a 'bhalla, gach ceum ma tha leth roimhe? Ma tha thu dà meatair bho an t-amas, a 'chiad ceum nas fhaisge gu timcheall air leth-slighe, an ath - comharradh de trì-chairteal, agus an dèidh a' chòigeamh, bidh buaidh air cha mhòr 97 sa cheud de an t-slighe. Ach, ge bith cia mheud ceumannan a rinn thu ni mò, an dùil an targaid ruig thu ann an teann matamataigeach ciall. Cleachdadh àireamhach àireamhachadh, an urrainn dhuinn dearbhadh gu bheil a 'cheann thall dh'fhaodadh a bhith nas fhaisge air an arbitrarily beag a thoirt air astar. 'S e seo co-ionann ri dearbhadh a' sealltainn gu bheil an aon luach iomlan de leth, aon cheathramh, agus mar sin air. E. buailteach aonachd.

Chaidh a 'chùis-aomadh: an dara tighinn, no ionnstramaid Morair Kelvin

Tric a 'cheist dh'èirich anmoch anns an naoidheamh linn deug, nuair a Fourier sreath air feuchainn ri cleachdadh gus ro-innse air dèinead an Ebbs agus sruthan. Aig an àm sin, Morair Kelvin chaidh a dh'innlich an inneal a tha an Analog coimpiutair a tha a 'leigeil seòladairean chabhlach mharsanta mara agus a' cumail sùil 'S e annas nàdarrach. Dòigh-obrach seo air a mhìneachadh seata de ceumannan agus amplitudes a 'bhùird an àirde an làin agus a' co-fhreagarrach àm amannan, gu cùramach air a thomhas ann an cala air feadh na bliadhna. Tha gach paramadair S e sinusoidal phàirt labhairt an làn-àirde agus b 'e aon de na co-phàirtean cunbhalach. Tha tomhas toraidhean a tha a 'cur ri inneal coimpiutaireachd a' Mhorair Kelvin, 'Co-chur lùb gun dùil àirde an uisge mar ghnìomh aig an ath bhliadhna. Fìor a dh'aithghearr, tha na lùban air an tarraing suas airson a h-uile calaidhean an t-saoghail.

Agus ma thèid am pròiseas a bhriseadh discontinuous gnìomh?

Aig an àm sin, bha e coltach follaiseach gu bheil an uidheam fiosachd a tonn mara, le mòran eileamaidean de chunntas urrainn obrachadh a-mach àireamh mhòr de ceumannan agus amplitudes, agus mar sin a 'toirt barrachd ceart fàisneachd. A dh'aindeoin sin, tha e a 'tionndadh a-mach gu bheil am pàtran seo chan eil e' faicinn ann an cùisean far a bheil an làin-labhairt a thèid a synthesized, a tha geur leum, 'se sin, tha discontinuous. Ann an tachartas gu bheil an uidheam gu dol a steach dàta bho Clàr ùine puingean, tha e a 'cunntadh beagan Fourier èifeachdan. Slànachadh a 'chiad dhreuchd air sgàth an sinusoidal pàirt (a rèir a' lorg èifeachdan). Tha a 'bheàrn eadar a' chiad agus an ath-thogail a chur an cèill a thomhas aig àm sam bith. Nuair a bha an ath-àireamhachadh agus coimeas a chithear gu bheil an luach as motha a mearachd nach eil lùghdachadh. Ach, tha iad ionadail anns an sgìre a rèir a 'phuing rupture, agus puing sam bith eile buailteach a neoni. Ann an 1899, an toradh seo a dhearbhadh theoretically Joshua Willard Gibbs de Yale Oilthigh.

-Aomadh de Fourier sreath agus leasachadh matamataig air fad

Fourier anailis Chan eil a 'buntainn ri abairtean anns a bheil an àireamh neo-chrìochnach de sgoltadh aig àraidh ceada. Anns an fharsaingeachd Fourier sreath, ma tha a 'chiad ghnìomh a riochdachadh le toradh an dearbh corporra tomhasan, daonnan a' coinneachadh. Ceistean de aomadh den phròiseas seo sònraichte airson clasaichean de ghnìomhan air an stiùireadh ùr a geugan matamataig, mar an teòiridh farsaing air dleastanasan. Tha e co-cheangailte ri ainmean mar Schwartz, J .. Mikusiński agus J. Temple. Fo seo air teòiridh, soilleir agus mionaideach teòiridheach bhunait airson a leithid a chur an cèill air a bhith air a stèidheachadh mar Dirac delta dhreuchd (tha e a 'toirt iomradh air an sgìre air aon sgìre, stèidhichte ann an infinitesimal choimhearsnachd an Rubha) agus "ceum" Heaviside. Tron obair seo Fourier sreath dh'fhàs iomchaidh airson a 'fuasgladh cho-aontaran agus fhuasgladh, a tha a' gabhail a-steach bun-bheachdan intuitive: phuing os cionn, 'phuing aifreann,' iùil-tharraingeach dipoles, agus an liuthad eallach air an sail.

Fourier dòigh

Fourier sreath, ann an co-rèir ri prionnsapalan bhacadh sam bith, a 'tòiseachadh leis a' lobhadh iom-fhillte a-steach foirmean sìmplidhe. Mar eisimpleir, tha atharrachadh ann an teas-sruth air sgàth a trannsa tro na diofar bacaidhean air teas glutadh stuth cumadh neo-riaghailteach no ag atharrachadh uachdar na talmhainn - crith-thalmhainn, atharrachadh ann an reul-chuairt na gluasadan nèamhaidh chorp - a 'bhuaidh air na planaidean. Mar as trice, tha iad seo a 'toirt iomradh air co-aontaran sìmplidh a clasaigeach siostam bhunaiteach fuasgladh airson gach neach fa leth wavelength. Fourier air sealltainn gu bheil fuasglaidhean sìmplidh faodar iomradh suas mar nas iom-fhillte airson gnìomhan. Ann an cànain matamataig, Fourier sreath - dòigh-obrach airson tagradh air a chur an cèill suim sheirmeach - cosine agus Sine tonn. Mar sin, seo a 'mion-sgrùdadh seo cuideachd air aithneachadh fon ainm "-sheirmeach mion-sgrùdadh".

Fourier sreath - dòigh air leth freagarrach do "choimpiutair aois"

Mus deach an cruthachadh teicneòlas coimpiutaireachd Fourier dòigh as fheàrr ball-airm ann an armlann de luchd-saidheans ag obair le na tuinn nàdar de ar saoghal. Fourier ann an sreath iom-fhillte foirm leigeas leat chan ann a mhàin ceistean sìmplidh a fhreagairt a tha fosgailte to dh'fhuasgladh a stiùireadh iarrtas Newton laghan an cuspairean meacanaigeach, ach cuideachd bunaiteach co-aontaran. As an lorg de Newtonian saidheans na naoidheamh linn deug b 'urrainn a-mhàin air sgàth na Fourier dòigh.

Fourier sreath diugh

Le leasachadh Fourier cruth-atharrachadh coimpiutairean air èirigh gu ìre ùr. Alt seo a tha stèidhichte gu daingeann ann an cha mhòr a h-uile h-achaidhean ann an saidheans agus teicneòlas. Mar eisimpleir, digiteach fuaim is bhidio. A chur an gnìomh air a bhith air a dhèanamh comasach a-mhàin Taing do teòiridh leasachadh le matamataig Frangach de tràth san naoidheamh linn deug. Mar sin, an t-sreath Fourier ann an iom-fhillte foirm a ceadaichte a dhèanamh gus fuasgladh ann an rannsachadh a-muigh àite. A thuilleadh air sin, tha e air buaidh a thoirt air an sgrùdadh air an fiosaig semiconductor de stuthan agus plasma, microwave sgoinneil, oceanography, radar, seismology.

Thriantanach Fourier t-sreath

Ann am matamataig, tha an t-sreath Fourier tha dòigh a 'riochdachadh neo-fhillte gnìomhan mar suim sìmplidhe. Anns an fharsaingeachd de chùisean, tha an àireamh de abairtean a dh'fhaodadh a bhith neo-chrìochnach. Tha barrachd an àireamh cunntadh ann an àireamhachadh, a 'nas neo-mhearachdaiche a' chuairt dheireannach thoradh fhaighinn. As cumanta cleachdadh sìmplidh thriantanach cosine no sine gnìomh. Anns a 'chùis seo, a' Fourier t-sreath ris an canar thriantanach, agus an co-dhùnadh air a leithid de abairtean --sheirmeach lobhadh. Tha an dòigh seo a 'cluich pàirt chudromach ann am matamataig. A 'chiad uile, thriantanach an t-sreath a' toirt dhòigh airson an ìomhaigh, a thuilleadh air an sgrùdadh air gnìomhan, tha e na phrìomh aonad de teòiridh. A bharrachd, tha e a 'toirt cothrom dhuinn fuasgladh grunn dhuilgheadasan ann matamataigeach fiosaig. Mu dheireadh, seo teòiridh air cur ri leasachadh matamataigeach mion-sgrùdadh, bha ea 'toirt àrdachadh air àireamh de glè meuran cudromach matamataigeach saidheans (teòiridh integrals, an teòiridh àm gu àm gnìomhan). A thuilleadh air sin, an àite tòiseachaidh airson leasachadh a leanas bheachdan: seataichean, gnìomhan fìor chaochlaideach, fuincseanach anailis, agus cuideachd a chur sìos bunait airson sheirmeach mion-sgrùdadh.